ものの「かたち」を調べる

~ トポロジーとパーシステントホモロジー ~

はじめに

物体をスキャンするなどして得られた 次元の点群から、もとの物体のかたちに関する情報を得 るために、さまざまな方法が用いられます。


例えば、Arithmer では

3Dビジョンロボットシステムなどで、3次元の点群を扱っています。


今回は、点群から計算される情報として、近年注目を浴びているパーシステントホモロジーという概念を紹介したいと思います。

トポロジーという数学の一分野の考え方を使っているのですが、わかりやすさのために、ところどころで数学的に正確ではない表現をする事をお許しください。



「かたち」とは? ~ トポロジーの考え方 ~


ものの「かたち」とは何でしょうか?

例えば、丸と四角はかたちが違う、といいますよね。

それでは、こちらの図をみた時に、どれが丸でどれが四角でしょうか?

一番左は丸、一番右は四角だけど、左から二番目は丸のような四角のような、みたいな気持ちになりませんか?



トポロジー(位相幾何学)という数学の分野では、かたちに関してもっと雑な分類をします。

上の例のような、連続的に変形してうつりあうものは、全部同じかたちをしていると考えるのです。

今回は、このようなものたちを「位相的に同じかたち」をしていると呼ぶ事にします。 (本当は、連続的な変形以外でも位相的に同じかたちだと考えるものがあるのですが、今日は割愛させてもらいます。)


では、どういうものは違うと考えるのかというと、例えば、下の図の円盤と穴の空いた円盤は、 (お互いを連続的に変形してもうつりあわないので)違うかたちをしていると考えます。



これは円盤じゃなくて四角ではないか? と思う方もいるかもしれませんが、先ほど述べたように、トポロジーの考え方では連続的に移り合うものは同じかたちだと思うので、一見四角く見えるこれらを円盤と呼んでしまうのです。


3次元空間の中の例も挙げておきます。

トポロジーの考え方では、球と四面体の表面はおなじかたちで、ドーナツの表面(トーラスと呼びます)は違うかたち、だと考えます。




かたちを見分ける ~ 位相不変量 ~


先程、上の図の、円盤と穴の空いた円盤は位相的に違うかたちをしていると言いましたが、本当は、どうやって連続的に変形してもお互いが移り合わないということを証明しないといけません。